Урок 3: Двоичная система счисления.
Арифметические операции в двоичной системе счисления

Для перевода десятичного числа в двоичную систему счисления можно использовать различные способы. Рассмотрим решение с использованием метода разностей, когда из десятичного числа поочередно вычитаются числа из числового ряда степеней двойки, начиная с наибольшего из них.

Из числового ряда степеней двойки находим наибольшее число, не превосходящее данное. Для числа 126 это число 64. Вычтем 64 из 126 и получим 62. Поскольку 64 — это шестая степень двойки, а разряды соответствуют степеням двойки, начиная с нуля, то мы понимаем, что в искомом двоичном числе семь разрядов. Зарезервируем для каждого разряда свою позицию и напишем под ней значение степени числа 2, соответствующее этой позиции. Поскольку 64 участвует в вычитании, то в соответствующей ему позиции искомого двоичного числа мы ставим 1.

Для полученной разности 62 находим ближайшее значение степени числа 2, которое не превосходит разность. Для числа 62 это число 32. Вычитаем его из 62 и получаем 30. Поскольку 32 участвует в вычитании, то в соответствующей ему позиции искомого двоичного числа мы ставим 1.

Для полученной разности 30 находим ближайшее значение степени числа 2, которое не превосходит разность. Для числа 30 это число 16. Вычитаем его из 30 и получаем 14. Поскольку 16 участвует в вычитании, то в соответствующей ему позиции искомого двоичного числа мы ставим 1.

Для полученной разности 14 находим ближайшее значение степени числа 2, которое не превосходит разность. Для числа 14 это число 8. Вычитаем его из 14 и получаем 6. Поскольку 8 участвует в вычитании, то в соответствующей ему позиции искомого двоичного числа мы ставим 1.

Для полученной разности 6 находим ближайшее значение степени числа 2, которое не превосходит разность. Для числа 6 это число 4. Вычитаем его из 6 и получаем 2. Поскольку 4 участвует в вычитании, то в соответствующей ему позиции искомого двоичного числа мы ставим 1.

Для полученной разности 2 находим ближайшее значение степени числа 2, которое не превосходит разность. Для числа 2 это число 2. Вычитаем его из 2 и получаем 0. Поскольку 2 участвует в вычитании, то в соответствующей ему позиции искомого двоичного числа мы ставим 1.

Последняя разность равна 0, это значит, что число 126 можно представить как сумму 64, 32, 16, 8, 4 и 2. Это означает, что в искомом двоичном числе в младшем разряде должен стоять 0. Получаем ответ 1111110.

Какой бы способ для решения задачи ты не использовал, результат должен получиться одинаковым. Рассмотрим аналитическое решение данной задачи, основанное на знании того, как устроена двоичная система счисления. Итак, мы ищем двоичное значение десятичного числа 126. Мы знаем, что число 128 — это два в седьмой степени, поэтому записывается как единица и семь нулей.

По принципу построения двоичной системы счисления число, в котором содержится единица и все нули, следует за числом, в котором одни единицы и оно на один разряд меньше. Число 127 предшествует числу 128, т. е. оно состоит из семи единиц.

Поскольку число 126 предшествует числу 127, т. е. оно на единицу меньше, то нужно просто вычесть единицу из двоичного представления числа 127. Для этого следует расположить единицу под младшим разрядом числа 127 и выполнить арифметическую операцию вычитания. В нашем случае 1 – 1 = 0,, поэтому получаем двоичное число, в котором шесть единиц и ноль в младшем разряде. Мы получили такой же ответ, что и при использовании метода разностей. Такое решение удобно использовать для чисел, расположенных близко к степеням двойки.